不可分空间举例

$\textbf{定义}$:赋范线性空间$X$称为是$\textbf{可分的}$，如果它包含着一个可数的稠密的子集，即闭包是整个空间$X$的点集.

分析中用到的空间大多数(但不是全部)都是可分的.下面是一个不可分空间的重要例子.

设 $X$ 是由区间 $[0,1]$ 上的所有全质量有限的带号测度 $m$ 构成的线性空间.我们定义 $m$ 的范数为 $m$ 的全质量:

$$|m|=\int_0^1|\mathrm{d} m|$$

用 $m_y$ 表示在 $y$ 点有单位质量的测度.显然，对 $y \neq z,\left|m_y-m_z\right|=2$.由于在区间 $[0,1]$ 中有不可数个点 $y$ ，所以 $X$ 是不可分的.