单位球的非紧性

有限维空间中的许多存在性定理都基于闭单位球

$$B_1=\{x:|x| \leqslant 1\}~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

是紧的这一事实，也就是说，$B_1$ 中的任意点列都有一个收敛的子列.$\mathrm{F.Riesz}$证明了此性质刻化了有限维空间.

$\textbf{定理}$.设 $X$ 是一个无限维的赋范线性空间，则由$(1)$定义的闭单位球 $B_1$ 不是紧的.

证明:我们首先需要一个引理.

$\textbf{引理}$.若 $Y$ 是赋范线性空间 $X$ 的一个闭的真子空间，则在 $X$ 中存在长度为$1$的向量 $z$ ，使得

$$|\boldsymbol{z}|=1~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

$$\forall \boldsymbol{y} \in Y, \quad|\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}|>\frac{1}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

$\textbf{证明}$.由于 $Y$ 是 $X$ 的真子空间，在 $X$ 中存在点 $\boldsymbol{x}$ 不属于 $Y$.由于 $Y$ 是闭的，$\boldsymbol{x}$ 到 $Y$ 的距离是正的:

$$\inf_{\boldsymbol{y} \in Y}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=d>0~~~~~(4)$$

于是在 $Y$ 中存在点 $\boldsymbol{y}_0$ 使得

$$\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y_0}\right|<2 d~~~~(5)$$

记 $\boldsymbol{z}^{\prime}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}_0$ ；于是我们可以把$(5)$式写为

$$\left|\boldsymbol{z}^{\prime}\right|<2 d~~~~~~~~~~(6)$$

由$(4)$式可知

$$\forall \boldsymbol{y} \in Y, \quad\left|\boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{y}\right| \geqslant d~~~(7)$$

令

$$\boldsymbol{z}=\frac{\boldsymbol{z}^{\prime}}{\left|\boldsymbol{z}^{\prime}\right|} ~~~~~~~~~~(8)$$

$(2)$显然成立，结合$(6)$和$(7)$得到$(3)$.

$\textbf{注}$:显然，$(3)$右端的数$\displaystyle \frac{1}{2}$可以换成任意小于$1$的数.

现在证明定理.我们如下递归地构造一列单位向量 $\{ \boldsymbol{y}_n \}$.任选 $\boldsymbol{y}_1$.假设$\boldsymbol{y}_1, \cdots, \boldsymbol{y}_{n-1}$已经选好；用$Y_n$ 表示它们张成的线性空间.由于 $Y_n$ 是有限维的，它是闭的；因为 $X$ 是无限维的，故 $Y_n$ 是 $X$ 的一个真子空间.因此由引理，存在 $\boldsymbol{z}$满足性质$(2)$和$(3)$.取

$$y_n=z$$

由于$\boldsymbol{y}_j(j < n)$ 属于 $Y_n$ ，

$$\left|\boldsymbol{y}_n-\boldsymbol{y}_j\right| > \frac{1}{2}, \quad j < n$$

这说明两个不同的 $\boldsymbol{y}_j$ 之间的距离超过 $\displaystyle\frac{1}{2}$ ，从而 $\{ \boldsymbol{y}_n \}$ 没有子序列是$\mathrm{Cauchy}$列.由于所有的 $\boldsymbol{y}_j$ 都属于单位球 $B_1$ ，故 $B_1$ 不是紧的.