数学

设曲线LL表示单位圆x2+y2=1x^2+y^2=1的正向，求下列曲线积分

I=∫Leyx2+y2[(xsin⁡x+ycos⁡x)dx+(ysin⁡x−xcos⁡x)dy]I=\int\limits_{L}\frac{\mathrm{e}^y}{x^2+y^2}\left[(x\sin x+y\cos x)\mathrm{d}x+(y\sin x-x\cos x)\mathrm{d}y\right]

解\textbf{解}:做一个小圆C:x2+y2=ε2C:x^2+y^2=\varepsilon^2方向逆时针，再对环形区域DεD_{\varepsilon}使用Green\mathrm{Green}公式

∫L−CPdx+Qdy=∬Dε(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=0\int\limits_{L-C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D_{\varepsilon}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

于是

∫LPdx+Qdy=∫CPdx+Qdy=1ε2∫Cey[(xsin⁡x+ycos⁡x)dx+(ysin⁡x−xcos⁡x)dy]=−2ε2∬DCeycos⁡xdxdy=−2ε2⋅ey0cos⁡x0⋅πε2=−2πey0cos⁡x0\begin{aligned} &\int\limits_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\int\limits_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\\ =&\frac{1}{\varepsilon^2}\int\limits_{C}\mathrm{e}^y\left[(x\sin x+y\cos x)\mathrm{d}x+(y\sin x-x\cos x)\mathrm{d}y\right]\\ =&-\frac{2}{\varepsilon^2}\iint\limits_{D_C}\mathrm{e}^y\cos x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\frac{2}{\varepsilon^2}\cdot \mathrm{e}^{y_0}\cos x_0\cdot \pi \varepsilon^2\\ =&-2\pi \mathrm{e}^{y_0}\cos x_0 \end{aligned}

最后令ε→0+\varepsilon\rightarrow 0^+，得到

lim⁡ε→0+(−2πey0cos⁡x0)=−2πe0cos⁡0=−2π\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}(-2\pi \mathrm{e}^{y_0}\cos x_0)=-2\pi \mathrm{e}^0\cos 0=-2\pi

另解:将 x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1 代入原积分, 再应用 Green\mathrm{Green}公式可知原积分等于

I=∬D−2eycos⁡xdxdy=−∫012rdr∫02πercos⁡θcos⁡(rsin⁡θ)dθI=\iint\limits_{D}-2 \mathrm{e}^{y} \cos x \mathrm{d} x \mathrm{d} y=-\int_{0}^{1} 2 r \mathrm{d} r \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{e}^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta

这里应用了极坐标变换 x=rsin⁡θ,y=rcos⁡θx=r \sin \theta, y=r \cos \theta.
考虑Cauchy\mathrm{Cauchy}积分公式

f(z)=12πi∫Cf(ζ)ζ−zdζf(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{C} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{d} \zeta

取 z=0z=0 并记圆周 C:ζ−z=reiθC: \zeta-z=r e^{i \theta}, 代入公式得到

f(0)=12π∫02πf(reiθ)dθf(0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(r e^{i \theta}\right) \mathrm{d} \theta

令函数 f(z)=ezf(z)=e^{z}, 则 f(0)=1f(0)=1 以及

f(reiθ)=ereiθ=ercos⁡θ+irsin⁡θ=ercos⁡θ[cos⁡(rsin⁡θ)+isin⁡(rsin⁡θ)]f\left(r e^{i \theta}\right)=\mathrm{e}^{r \mathrm{e}^{i \theta}}=\mathrm{e}^{r \cos \theta+i r \sin \theta}=\mathrm{e}^{r \cos \theta}[\cos (r \sin \theta)+i \sin (r \sin \theta)]

代入Cauchy\mathrm{Cauchy}积分公式得到（虚部积分为 0\mathbf{0} ）

∫02πercos⁡θcos⁡(rsin⁡θ)dθ=2πf(0)=2π\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{e}^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \pi f(0)=2 \pi

故原积分 I=−2πI=-2 \pi 为所求.