无限维乘积的可逆性

设$\boldsymbol{M}:X\to U,\boldsymbol{N}:U\to W$我们注意到，当$X=U=W$均为有限维时，乘积$\boldsymbol{NM}$的可逆性意味着$\boldsymbol{N}$和$\boldsymbol{M}$都是可逆的.但在无限维的情形下此结论不成立.例如，设$X$是由所有无穷序列

$$x=(a_1,a_2,\cdots)$$

构成的线性空间，定义$\boldsymbol{R}$和$\boldsymbol{L}$分别为右平移和左平移:$\boldsymbol{R}x=(0,a_1,a_2,\cdots),\boldsymbol{L}x=(a_2,a_3,\cdots)$.显然，$\boldsymbol{LR}$是恒等映射，但是$\boldsymbol{R}$和$\boldsymbol{L}$都不可逆，而且$\boldsymbol{RL}$也不是恒等映射.